SURPRISER

1931년, 당시 24세였던 '쿠르트 궤델(독일어: Kurt Gödel, 1906~1978)'은 '불완전성 정리(Incompleteness Theorems)'를 내밀어 수학계를 충격에 빠뜨렸다. 수학의 불완전함을 나타내는 '불완전성 정리'는 '수학적 증명이 불가능한 것은 없다'는 당대 분위기를 반전시켰다. 원자 폭탄을 개발한 주도한 이론 물리학자 '로버트 오펜하이머(Robert Oppenheimer, 1904~1967)'는 '불완전성 정리'에 대해 "인간의 이성 일반에서의 한계를 밝혀냈다."라고 평했다. '불완전성 정리'는 수학뿐만 아니라, 인간이 구축하는 어떤 시스템도 불완전하다고 제시한 것이다. '불완전성 정리'가 제시하는 '불완전(Incompleteness)'이란 무엇을 의미하는 것일까? 그리고 '..

'4색 정리(Four Color Theorem)'란 '지도에서 이웃한 영역이 다른 색깔이 되도록 칠하기 위해서는 4색이면 충분하다.'는 정리이다. 단 '이웃'한다는 것은 경계선을 공유함을 나타내고, 경계선의 교점에서 접하는 것은 이웃하지 않는 것으로 간주한다. 정리의 내용 자체는 간단히 이해할 수 있지만 정말 맞는 것일까? 0. 목차 '정리'란 무엇인가? 4색 문제 '4색 문제'를 풀었다고 주장한 '프랜시스 거스리' 지도를 '점'과 '선'으로 생각해 보자. 4색 문제가 증명되었다. 1. '정리'란 무엇인가? '4색 정리(Four Color Theorem)'를 설명하기 전에 '정리(定理, Theorem)'의 의미에 대해 알아보자. '정리'와 비슷한 의미로 '공리'와 '공식'이라는 용어도 있다. '공리(Ax..

'원주율(pi ratio)'이란 '원 둘레의 길이'를 '지름'으로 나눈 값으로 'π(파이)'라는 그리스 문자로 나타낸다. 초등학교에서는 약 3.14라고 배우지만, 실제로는 3.14 뒤에 규칙성 없는 숫자가 무한히 늘어선다. π의 정확한 값을 구하는 데 처음으로 도전한 사람은 고대 그리스의 '아르키메데스'였다. 그 정열은 후대의 수학자에게 계승되었으며, 원주율 π값의 기록은 2000년 이상 지난 지금까지도 계속 갱신되고 있다. 원주율 π에 숨겨진 신비한 성질에 대해 알아보자. 0. 목차 '원주율 π'란 무엇인가? 고대의 원주율 계산 방법 직접 실험해서 π값 구하기 π와 무한 무한급수로 π를 나타내는 방법 컴퓨터에 의한 π의 계산 π와 소수는 연결되어 있었다. 1. '원주율 π'란 무엇인가? 1-1. π는 ..

'스도쿠(Sudoku)'는 누구나 쉽게 즐길 수 있는 숫자 퍼즐 게임이다. 숫자를 채워 넣는 퍼즐이지만, 수학은 물론 산수 지식마저도 필요하지 않다. 이런 점이 다양한 층에서 스도쿠를 즐길 수 있는 이유일 것이다. 그러나 그 이면에는 수학적인 심오함이 깃들어 있다. 스도쿠의 독특한 매력에 대해 알아보자. 0. 목차 스도쿠의 기본 규칙 스도쿠의 역사 스도쿠의 난제 컴퓨터가 푸는 스도쿠 스도쿠의 해법 1. 스도쿠의 기본 규칙 스도쿠의 규칙은 그리 복잡하지 않다. 9×9의 81개의 칸에 1~9 숫자를 넣어 나갈 뿐이다. 수평 방향으로 늘어선 9개의 칸을 '가로줄', 수직 방향으로 늘어선 9개의 칸을 '세로줄', 3칸×3칸 크기의 9칸으로 이루어진 영역을 '블록'이라고 한다. 그때 '가로줄', '세로줄', 3칸..

고대 그리스의 철학자 '플라톤(Plato)'은 '정다각형(Regular Polygon)'만으로 이루어진 입체인 '정다면체(Regular Polyhedron)'를 신성시했다. 그가 주목한 5가지 정다면체, 즉 '정사면체', '정육면체(입방체)', '정팔면체', '정이십면체', '정이십면체'를 통틀어 '플라톤 입체(Platonic Solid)'라고 한다. 정다면체는 '황금비'를 갖고 있다거나 '구(Sphere)'에 꽉 맞게 들어가는 등의 불가사의한 성질을 가지고 있어, 기원전부터 사람들을 매혹시켜왔다. 0. 목차 플라톤 입체 외접구와 내접구 쌍대 사면체 타일 정리 황금비 지오데식 돔 아르키메데스 입체 공간을 꽉 채우는 방법 1. 플라톤 입체 납작한 면으로 둘러싸인 입체를 '다면체(Polyhedron)'라고 ..

0. 목차 '난수'란 무엇인가? 몬테 카를로법 클러스터 착각 정규수 의사 난수 발생법 물리 난수 발생법 난수가 우리 사회를 지탱하고 있다. 1. '난수'란 무엇인가? '난수(Random Number)'란 '다음 수를 결정하는 법칙이 절대 존재하지 않는 수'를 말한다. 다른 말로 하면, '다음에 무엇이 나올지 전혀 알 수 없는 수'가 난수이다. 그리고 난수를 만들어내는 장치를 '난수 발생기(Random Number Generator)'라고 한다. 예컨대 정육면체 주사위는 1에서 6까지의 난수를 만드는 난수 발생기이다. 정20면체의 각 면에 0부터 9까지의 숫자를 2번씩 할당하면, 0부터 9까지의 난수를 만드는 난수 발생기가 된다. 이것을 '난수 주사위'라고 하며, 이것을 계속 굴려 수학책에 실린 것과 같은..

현대 수학을 대표하는 분야 중에 '위상수학(Topology)'이라는 분야가 있다. '위상수학'이라고 하면, 약 100년의 세월을 거쳐 마침내 2006년에 해결된 엄청난 난제 '푸앵카레의 추측(Poincare Conjecture)'을 떠올리는 사람들도 있을 것이다. 과연 '위상수학'이란 어떤 학문이고, 또 수많은 수학자들을 사로잡은 '푸앵카레의 추측'은 무엇일까? 0. 목차 '위상수학'이란 무엇인가? '위상수학'의 탄생 위상 동형 '뫼비우스의 띠'와 '클라인의 병' '푸앵카레의 추측'이란? 다양한 분야에서 주목받는 '위상수학' 1. '위상수학'이란 무엇인가? 수학계의 노벨상이라고 불리는 '필즈상(Fields Medal)'은 수학계에서 가장 권위 있는 상이다. 4년에 한 번 현저한 업적을 남긴 40세 이하의..

0. 목차 무한이란 무엇인가? 무한의 계산 원주율과 무한 무한의 농도 무한소 1. 무한이란 무엇인가? '무한(infinite)'란 문자 그대로 '끝이 없다'는 개념이다. 하지만 무한의 세계를 떠올리기는 쉽지 않다. 그러면 인류는 언제부터 무한에 대해서 생각해왔을까? 인류가 무한에 대해서 진지하게 생각하기 시작한 것은 고대 그리스 시대부터였다. 하지만 당시의 주류 철학자였던 '피타고라스(Phythagoras)' '플라톤(Plato)', '아리스토텔레스(Aristoteles)' 등은 이 세계를 유한한 것으로 생각해, 논의에 혼란을 가져오는 '무한'의 개념을 몹시 싫어했다. '혐오'로 시작된 무한과의 관계는 나중에 과학에 큰 발전을 가져오게 된다. '무한대를 나타내는 기호' ∞는 영국의 수학자 '존 월리스(J..

0. 목차 '소수'란 무엇인가? '소수'에 규칙성은 없다? 소수 찾기 소인수 분해 소수는 무한한가? 메르센 소수 소수와 관계된 미해결 문제 1. '소수'란 무엇인가? '소수(Prime Number)'란 1보다 크고, 1보과 자기 자신을 제외한 다른 수로는 나누어지지 않는 수를 말한다. 1, 2, 3, 4, 5...로 계속되는 양의 정수를 '자연수'라고 하며, 물건을 헤아리거나 순서를 나타낼 때 사용한다. 1과 소수 이외의 자연수는 모두 소수의 곱셈으로 나타낼 수 있다. 예컨대 30은 2×3×5이다. 게다가 곱하는 차례를 고려하지 않으면 그 방법은 1개밖에 없다. 그래서 소수를 '수의 원자'라고도 한다. 그리고 소수 이외의 수는 자연수는 '1과 그 자신 이외의 수를 약수로 가지는 자연수'로 '합성수(Com..

'도박사의 오류(Gambler' Fallacy)'란 서로 영향을 끼치지 않는 일련의 확률적 사건들에서 상관관계를 찾아내려 하는 사고의 오류를 말한다. 즉, 독립 사건에서 상관관계를 찾으려는 오류인 것이다. 사례를 통해 '도박사의 오류'에 대해 이해해 보자. 0. 목차 도박사의 오류 '여남여남남여'인 가정과 '남여남남남남'인 가정 중 어느 쪽이 많을까? 주식에서의 '기술적 분석' 1. 도박사의 오류 어느 날 한 도박사가 카지노에 가서 '룰렛(roulette)'을 했다. 그 카지노의 룰렛 규칙은 구슬이 빨간색과 검은색의 어느 한쪽 칸에 들어갈지를 예상해서 거는 단순한 내용이었다. 룰렛에는 같은 수의 빨간색 칸과 검은색 칸이 있다. 1회째 게임의 결과는 검정이었다. 그리고 2회째 게임 결과도 검정이었다. 3번..

'몬티 홀 문제(Monty Hall Problem)' 또는 '몬티 홀 딜레마(Monty Hall dilemma)'라고 불리는 이 문제는 직감으로는 이해하기 어려운 문제이다. '몬티 홀(Monty Hall)'은 1960년대에 시작된 미국의 TV 프로그램 'Let's make a deal'의 사회자였던 배우의 이름이다. 상품을 받으려는 도전자와 사회자 사이의 흥정이 이 문제의 배경이다. 0. 목차 몬티 홀 문제 왜 바꿔야 하는가? 그래도 납득이 안된다면 직접 해보자. 1. 몬티 홀 문제 도전자 앞에는 3개의 문 A, B, C가 있다. 3개의 문 가운데 어느 하나의 문 뒤에는 호화로운 상품이 숨겨져 있지만, 나머지 2개의 문은 '꽝'이다. 문을 열었을 때 염소가 있으면 '꽝'이다. 사회자는 상품이 숨겨진 문을..

0. 목차 '0'이란 무엇인가? 고대 문명에서의 '0' 수로서의 0 수학에서의 0 자연에서의 0 1. '0'이란 무엇인가? 1-1. 0은 '수(Number)'일까? 0은 '수(Number)'일까? 옛날 사람들 특히, 유럽 사람들은 이것에 대해 많이 고민했다. 수라는 것은 애초부터 사물의 '개수'를 세기 위해 생겨난 것으로 여겨졌다. 하지만 '0개의 사과'라고는 말하지 않는다. 이런 측면에서 1~9까지의 다른 수와 비교해서, 0은 확실히 특별한 존재라고 생각된다. 실제로 0은 오랫동안 '수(number)'로 간주되지 않았다. 여기에서 말하는 '수'란 '개수'라는 생각에 얽매이지 않는 개념으로, 덧셈이나 곱셈과 같은 연산의 대상이 되는 것을 가리킨다. '개수'에 얽매이면, 0개 따위는 의미가 없으므로 0은 ..

1960년대, 물리학자 '윌리엄 뉴컴(William Newcomb)'은 '뉴컴의 역설(Newcomb's paradox)'이라고 불리는 사고 실험을 하나 제안하였다. 사회 철학자 '로버트 노직(Robert Nozick)'이 '윌리엄 뉴컴'에게서 아이디어를 얻어 문제 형태로 공개하였고, 이후 수학자이자 대중 저술자인 '마틴 가드너(MArtin Gardner)'가 유명 잡지에 기고하면서 대중적으로도 널리 알려진 문제가 되었다. 0. 목차 뉴컴의 역설 선택 1. 뉴컴의 역설 먼 미래의 어느 날, 사람의 생각을 읽을 수 있는 장치가 발명되었다. 이 장치를 사용하면 당신이 어떠한 행동을 할지 매우 정확하게 알아낼 수 있다. 이 장치를 만든 회사는 이 장치의 정확성을 보여주기 위해 게임을 하나 진행하였고, 당신은 이..

고대 그리스의 철학자 '아리스토텔레스(기원전 384~기원전 332)'는 그의 저서 '자연학'에서 몇 개의 역설을 소개했다. 이 역설들은 원래 기원전 철학자인 '엘레아의 제논(그리스어: Ζήνων ὁ Ἐλεάτης, 기원전 490년경~기원전 430년경)'이 언급했던 것으로 '제논의 역설(Zeno's Paradox)'이라고도 한다. '제논의 역설'은 사물이 움직이고 있다고 우리가 느끼는 모든 것들은 환상이라는 '파르메니데스(Παρμενίδης, 기원전 510년 경~기원전 450년 경)'의 사상을 지지하기 위해 만든 것이다. 0. 목차 아킬레우스와 거북의 역설 이분법의 역설 화살의 패러독스 경기장의 역설 양자역학으로 보는 제논의 역설 1. 아킬레우스와 거북의 역설 첫 번째로 소개할 '제논의 역설'은 '아킬레우..

독일의 수학자 '다비트 힐베르트(David Hilbert, 1862~1943)'는 무한 객실이 있는 '무한 호텔(infinite hotel)'이라는 기묘한 '패러독스(paradox)'를 생각했다. 무한의 개념을 이해하는데 도움이 되는 사고 실험이다. 0. 목차 무한의 손님이 찾아았다. 무한의 손님이 또 찾아왔다. 무한의 버스가 '무한'대 찾아왔다. 1. 무한의 손님이 찾아왔다. 무한 호텔에 '무한(∞)'의 손님이 숙박하고 있어 방이 꽉 차 있던 어느 날, 손님 한 명이 찾아왔다. 그 손님은 머물 호텔이 없으니 어떻게든 이 호텔에 묵고 싶다고 한다. 이에 호텔 지배인은 숙박객 전원을 자신의 방 번호 보다 하나 큰 방 번호의 방으로 옮기도록 조치했다. 1호실의 손님은 2호실로, 2호실의 손님은 3호실로, 3..

정삼각형을 이용해서 '2=1'을 증명하는 과정을 소개하겠다. 이 논리는 옳은 것일까? 0. 목차 2=1의 증명? 무엇이 오류인가? 1. 2=1의 증명? 여기에 모든 변의 길이가 1인 정삼각형이 있다. 여기에 변 AB와 변 BC의 중점에서 변 AC의 중점을 향해 선을 그어보자. 이렇게 하면 변의 길이가 1/2인 삼각형이 두 개 생긴다. 한편 새로 생긴 정삼각형의 위쪽 변을 따라 A에서 C로 향하는 꺾은선들은 길이가 1/2인 선분 4개로 이루어져 있다. 꺾인 선들의 길이의 합은 2가 된다. 마찬가지로 길이가 1/4인 정삼각형을 만들면, 역시 위쪽 변을 따라 A에서 C로 향하는 꺾은 선들은 길이가 1/4인 선분 8개가 된다. 역시 꺾인 선들의 길이의 합은 2가 된다. 이 과정을 무한히 반복하면 꺾인선은 직선 ..

'톰슨의 램프(Thomson's Lamp)'라고 불리는 간단한 사고 실험 하나를 소개한다. '아킬레스와 거북'과 비슷한 사고 실험이라서 어떤 사람은 이 사고 실험을 '제논의 역설(Zenon's Paradoxes)'의 아류작이라고 평가하기도 한다. 0. 목차 톰슨의 램프 정답 1. 톰슨의 램프 영국의 수학자 '제임스 톤슨(James Thomson, 1921~1984)'은 다음과 같은 실험을 고안했다. 여기에 조금 특이한 램프가 있다. 이 램프는 불이 켜진 1분 후에 불이 자동적으로 꺼지고 다시 30초 후에 불이 꺼진다. 그리고 15초 후에 불이 다시 꺼진다. 또다시 7.5초 후에 불이 켜지고.. 3.75초 후에 불이 꺼진다. 이런 식으로 점등 시간 또는 소등 시간은 정확히 절반의 시간이 지날 때마다 끝없이..

0. 목차 전체와 부분 무한집합의 농도 1. 전체와 부분 '전체'와 '부분' 중에서 어느 게 더 클까? 여러분들은 아마 '당연히 전체가 더 크다'라고 생각할 것이다. '부분'은 당연히 '전체'의 한 요소에 지나지 않기 때문에 이 논리에는 아무런 문제가 없어 보인다. 그런데 이 당연해 보이는 사실이 받아들여지지 않는 경우가 있다면 믿겠는가? 짝수는 자연수의 '부분'이라고 할 수 있다. 예를 들어보자. 1~100의 자연수 중에는 짝수가 50개 포함되어 있다. 따라서 자연수는 100개이고 짝수는 50개이므로 당연히 '전체'가 '부분'보다 크다. 그런데 이번에는 자연수와 짝수의 관계를 생각해보자. 유한 집합이 아닌 무한 집합에서 말이다. 자연수는 무한 개고 짝수 또한 무한 개다. 따라서 자연수의 수와 짝수의 수..

0. 목차 '차원'이란 무엇인가? 2차원 3차원 높은 차원은 그보다 낮은 차원의 공간을 내부에 포함한다. 차원의 확장 초입체 낮은 차원에서 불가능한 일도 높은 차원에서는 가능하다. 1. '차원'이란 무엇인가? 1-1. 유클리드가 정의한 점, 선, 면 '차원(dimension)'이란 공간이나 도형이 넓어지는 정도를 나타내는 개념이다. 차원의 개념은 기원전부터 있었던 것 같다. '기하학의 시조'라 불리는 고대 그리스의 수학자 '유클리드(Ευκλείδης, 기원전 330?~275)'는 기하학에서 그때까지 이루어진 성과를 체계화해 '원론'을 썼다. 그는 '원론'에서 점, 선, 면, 입체 등의 정의를 다음과 같이 내렸다. '점이란 부분을 갖지 않는 것이다. 선이란 폭이 없는 길이이다. 면이란 길이와 폭만 가진 것..