독일의 수학자 '다비트 힐베르트(David Hilbert, 1862~1943)'는 무한 객실이 있는 '무한 호텔(infinite hotel)'이라는 기묘한 '패러독스(paradox)'를 생각했다. 무한의 개념을 이해하는데 도움이 되는 사고 실험이다.
0. 목차
- 무한의 손님이 찾아았다.
- 무한의 손님이 또 찾아왔다.
- 무한의 버스가 '무한'대 찾아왔다.
1. 무한의 손님이 찾아왔다.
무한 호텔에 '무한(∞)'의 손님이 숙박하고 있어 방이 꽉 차 있던 어느 날, 손님 한 명이 찾아왔다. 그 손님은 머물 호텔이 없으니 어떻게든 이 호텔에 묵고 싶다고 한다. 이에 호텔 지배인은 숙박객 전원을 자신의 방 번호 보다 하나 큰 방 번호의 방으로 옮기도록 조치했다. 1호실의 손님은 2호실로, 2호실의 손님은 3호실로, 3호실의 손님은 4호실로... 이러한 방법으로 호텔의 1호실을 비울 수 있었고, 새로 찾아온 손님은 1호실에서 묵을 수 있었다.
2. 무한의 손님이 또 찾아았다.
그런데 이 날, 무한의 손님이 또 찾아왔다. 이미 무한의 손님이 숙박하고 있는데 무한의 손님을 어떻게 더 받는단 말인가? 하지만 호텔 지배인은 숙박객 전원을 자신이 숙박하고 있던 방 번호의 2배수의 번호의 방으로 옮기도록 하여 손님들을 받을 수 있었다. 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, 3호실 손님은 6호실로...
말이 안되는 것 같지만, 사실 이 논리는 수학적으로 올바르다. 이는 무한이 가지고 있는 직관에 반하는 성질 때문에 생긴 '패러독스(paraedox)'이다. 유한의 세계에서는 예를 들어 1부터 10까지 등장하는 짝수의 수(5개)는 1부터 10까지 등장하는 자연수의 수(10개) 보다 당연히 적다. 하지만 무한의 세계에서는 짝수 전체가 자연수 전체가 1대 1로 대응해 그 크기가 같아진다. 무한의 세계에서는 부분 집합이 집합 전체와 같은 크기가 되는 신비한 성질이 나타날 수 있다는 것이다.
3. 무한의 버스가 '무한'대 찾아왔다.
이번에는 무한 호텔에 '무한의 버스'가 '무한(∞)' 대 찾아왔다. 이전에 호텔 지배인은 2배수의 방 번호로 숙박객 전원을 이동시켜 빈방을 만들어 새로운 손님들을 숙박시킬 수 있었다. 하지만 이번에는 무한대의 손님이 무한대로 있다. 이전의 방식을 무한 반복하면 이번에도 손님들을 숙박시킬 수는 있다. 하지만 숙박객의 방을 무한이 변동시키면 이 작업은 영원히 끝나지 않을 것이다. 그러면 어떻게 해야 숙박객들을 한 번만 이동시키고 새로운 손님들을 모두 받을 수 있을까?
단 한 번만 숙박객들을 이동시키고 새로운 손님들을 모두 받을 수 있는 방법이 존재한다. 그러한 방법 중에 하나는 '소수'를 이용하는 것이다. '소수(prime number)'란 '1과 자기 자신만으로 나누어 떨어지는 1보다 큰 양의 정수'를 말한다. 이 소수는 끝없이 무한히 존재한다고 이미 증명되어 있다. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 등이 '소수'이다.
먼저 숙박객들을 2배수의 방 번호로 숙박객을 전원 이동시켜 홀수의 방을 비운다. 먼저 첫 번째의 무한 버스 손님들을 3n(n=1, 2, 3, 4...) 호실로 안내한다. 그러면 첫 번째 무한 버스의 손님들은 3, 9, 27, 81... 호실에 투숙하게 된다. 두 번째의 무한 버스 손님들은 5n(n=1, 2, 3, 4...)호실로 안내한다. 그러면 두 번째 무한 버스의 손님들은 5, 25, 125, 625... 호실에 투숙하게 된다. 세 번째의 무한 버스 손님들은 7n(n=1, 2, 3, 4...)호실로 안내한다. 그러면 세 번째 무한 버스의 손님들은 7, 49, 343, 2401... 호실에 투숙하게 된다. 마찬가지로 p 번째 무한 버스의 손님들은 pn(n=1, 2, 3, 4...)호실로 안내하면 된다. 첫 번째 무한 버스의 손님들을 두 번째 소수인 3부터 할당한 이유는 2는 짝수이기 때문에 사용할 수가 없기 때문이다. 이런 식으로 손님의 방을 배정하면 방이 중복되는 일이 없어, 기존의 숙박객들을 한 번만 이동시키고 모든 손님들의 방을 다 배정시킬 수 있다.