0. 목차
- 전체와 부분
- 무한집합의 농도
1. 전체와 부분
'전체'와 '부분' 중에서 어느 게 더 클까? 여러분들은 아마 '당연히 전체가 더 크다'라고 생각할 것이다. '부분'은 당연히 '전체'의 한 요소에 지나지 않기 때문에 이 논리에는 아무런 문제가 없어 보인다. 그런데 이 당연해 보이는 사실이 받아들여지지 않는 경우가 있다면 믿겠는가?
짝수는 자연수의 '부분'이라고 할 수 있다. 예를 들어보자. 1~100의 자연수 중에는 짝수가 50개 포함되어 있다. 따라서 자연수는 100개이고 짝수는 50개이므로 당연히 '전체'가 '부분'보다 크다. 그런데 이번에는 자연수와 짝수의 관계를 생각해보자. 유한 집합이 아닌 무한 집합에서 말이다. 자연수는 무한 개고 짝수 또한 무한 개다. 따라서 자연수의 수와 짝수의 수는 같다.
1-1. '전체'가 '부분'보다 크다는 사실은 유한 집합에서만 성립된다.
이쯤에서 계산이 빠른 사람이라면 눈치챘을 것 같다. 그렇다. '전체가 부분보다 크다.'는 사실은 유한한 집합에서만 성립된다. 무한한 집합에서는 '전체가 부분보다 크다.'라는 사실이 성립되지 않는다. 이 사실을 최초로 제시한 사람이 바로 '갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564~1642)'였는데, 그래서 이 역설을 '갈릴레이의 역설(Galileo's Paradox)'이라고 한다.
2. 무한집합의 농도
이후 독일의 수학자 '게오르크 칸토어(Georg Cantor, 1845~1918)'가 '무한 집합에 농도가 있다'는 새로운 개념을 제시하였다. 자연수와 부분집합인 짝수는 1:1로 대응시켜 모두 셀 수 있다. 하지만 선분 같은 경우에는 어떠한 조그만 구간을 잘라내도 길이가 0인 점은 그 안에 무한히 존재한다. 따라서 선분 안의 부분집합인 '점'을 모두 세는 것은 불가능하다. 이처럼 무한은 모두 셀수 있는 무한, 모두 셀 수 없는 무한이 존재한다. 그래서 칸토어는 이를 설명하기 위해 '농도'라는 개념을 도입하였다. 칸토어는 '자신과 같은 농도를 가진 진부분 집합이 존재하는 집합을 무한 집합'이라 정의하였다.