'톰슨의 램프(Thomson's Lamp)'라고 불리는 간단한 사고 실험 하나를 소개한다. '아킬레스와 거북'과 비슷한 사고 실험이라서 어떤 사람은 이 사고 실험을 '제논의 역설(Zenon's Paradoxes)'의 아류작이라고 평가하기도 한다.
0. 목차
- 톰슨의 램프
- 정답
1. 톰슨의 램프
영국의 수학자 '제임스 톤슨(James Thomson, 1921~1984)'은 다음과 같은 실험을 고안했다. 여기에 조금 특이한 램프가 있다. 이 램프는 불이 켜진 1분 후에 불이 자동적으로 꺼지고 다시 30초 후에 불이 꺼진다. 그리고 15초 후에 불이 다시 꺼진다. 또다시 7.5초 후에 불이 켜지고.. 3.75초 후에 불이 꺼진다. 이런 식으로 점등 시간 또는 소등 시간은 정확히 절반의 시간이 지날 때마다 끝없이 되풀이된다. 이때 램프가 켜지거나 꺼진 시간을 다 합쳐보자. 1분 + 1/2분 + 1/4분 + 1/8분 + 1/16분 + 1/32분 + 1/64분... = 2분
결국 2분에 수렴한다. 그러면 정확히 2분이 지난 후에는 이 램프는 꺼져 있을까? 켜져 있을까?
2. 정답
2분이 지났을 때 램프가 켜져 있었다고 가정해 보자. 그러면 그 직전에 켜져 있던 순간이 있었을 것이다. 하지만 규칙에 의하면, 그 불은 켜져 있을 때의 대기 시간의 지나면 다시 꺼지기 때문에 2분이 되기 전에 꺼지게 된다. 그러면 반대로 2분이 지났을 때 램프가 꺼져있었다고 가정해 보자. 그러면 그 직전에 꺼져 있던 순간이 있었을 것이다. 하지만 규칙에 의하면 그 불은 꺼져 있을 때의 대기 시간의 지나면 다시 켜지기 때문에 2분이 되기 전에 켜지게 된다.
결국 2분에 램프가 켜져 있었다고 가정해도 꺼져있었다고 가정해도 모두 모순이 발생한다. 따라서 2분에 불이 켜져 있다고도 꺼져있다고도 말할 수 없다. 사실 '톰슨의 램프' 문제는 '가장 큰 자연수는 짝수인가? 홀수인가?'라는 질문을 그럴듯하게 바꿔논 것에 불과하다. 결론적으로 이런 램프는 세상에 존재할 수가 없다.