'몬티 홀 문제(Monty Hall Problem)' 또는 '몬티 홀 딜레마(Monty Hall dilemma)'라고 불리는 이 문제는 직감으로는 이해하기 어려운 문제이다. '몬티 홀(Monty Hall)'은 1960년대에 시작된 미국의 TV 프로그램 'Let's make a deal'의 사회자였던 배우의 이름이다. 상품을 받으려는 도전자와 사회자 사이의 흥정이 이 문제의 배경이다.
0. 목차
- 몬티 홀 문제
- 왜 바꿔야 하는가?
- 그래도 납득이 안된다면 직접 해보자.
1. 몬티 홀 문제
도전자 앞에는 3개의 문 A, B, C가 있다. 3개의 문 가운데 어느 하나의 문 뒤에는 호화로운 상품이 숨겨져 있지만, 나머지 2개의 문은 '꽝'이다. 문을 열었을 때 염소가 있으면 '꽝'이다. 사회자는 상품이 숨겨진 문을 알지만, 도전자는 당연히 모른다. 도전자가 문 A를 골랐다. 그러자 사회자는 나머지 2개의 문 가운데 문 B를 열고, 그것이 꽝임을 도전자에게 보여주었다. 여기에서 사회자는 "처음 선택한 문 A를 그대로 유지해도 되고, 지금 문 C로 바꾸어도 됩니다."라고 말했다. 그러면 여기서 도전자는 선택을 바꾸는 것이 유리할까?
B는 꽝이기 때문에 남은 문은 A와 C 2개뿐이다. 그렇다면 A가 정답일 확률은 2분의 1이고, C가 정답일 확률도 2분의 1이기 때문에 구태여 바꾸지 않아도 확률은 같다고 생각하는 사람이 많을 것이다. 하지만 이러한 생각은 틀렸다. 정답은 'C로 바꿔야 한다.'이며, C가 정답일 확률은 3분의 2이다.
1990년에 미국의 잡지 '퍼레이드(Parade)'의 칼럼에서 이 문제와 답을 소개했을 때에도, 그 답은 틀렸다는 항의가 쇄도했다고 한다. 하지만 답은 정확하며, 논쟁의 여지는 전혀 없다.
2. 왜 바꿔야 하는가?
이 문제의 답을 설명하는 방식은 여러 가지가 있는데, 다음처럼 설명되는 경우가 많다.
- 사회자가 B를 열기 전에는 A가 정답일 확률이 3분의 1이고 A가 꽝일 확률은 3분의 2이다. 결국 3분의 2 확률로 B나 C 가운데 어느 하나가 정답이다. 그런데 지금 사회자가 B가 꽝이라고 알려주었다. 사회자가 C를 남긴 이 상황에서 'A가 정답'일 확률은 3분의 1이고, 'C가 정답'일 확률은 3분의 2이다.
- 이번에는 문의 수를 3개에서 5개로 늘려서 생각해 보자. 문 A, B, C, D, E 가운데 1개가 정답이다. 도전자가 문 A를 고르면, 사회자는 문 B, C, D를 차례로 열어서 그것이 모두 꽝이라는 사실을 도전자에게 알려주었다. 사회자가 E를 남긴 이 상황에서 'A가 정답'일 확률은 5분의 1이고, 'E가 정답'일 확률은 5분의 4이다.
- 이번에는 더 극단적으로, 문의 수를 100만 개로 늘려서 생각해 보자. '1번째 문, 2번째 문, 3번째 문...... 100만 번째 문' 가운데 1개가 정답이다. 도전자가 1번째 문을 고르면, 사회자는 '2번째 문, 3번째 문, 4번째 문... 99만 9999번째 문'을 차례로 열어서 그것이 모두 꽝이라는 사실을 도전자에게 알려주었다. 사회자가 100만 번째 문을 남긴 이 상황에서 '1번째 문이 정답'일 확률은 '100만 분의 1'이고, '100만 번째 문이 정답'일 확률은 '100만 분의 99만 9999'이다.
정리하면, '몬티 홀 딜레마(Monty Hall dilemma)'는 '여러 개의 문 중에서 임의로 고른 문이 정답일 확률'과 '여러 개의 문 중에서 임의로 고른 문이 꽝일 확률'을 비교하라는 문제이다.
3. 그래도 납득이 안된다면 직접 해보자.
그래도 납득이 안되는 사람이 있을 것이다. 그럴 때는 직접 실험을 해보는 것이 좋다. 빨간색 1장, 검은색 2장의 카드를 사용해 몬티 홀 딜레마와 같은 문제로 바꾸어 생각해 보자. 즉, 빨간 카드를 맞히는 게임을 두 사람이 반복해 보는 것이다. 100회 정도 되풀이해서 데이터를 정리해 보면, 다른 카드로 바꾸었을 때의 확률이 3분의 2에 가까운 값이 된다는 사실을 확인 할 수 있을 것이다.