SURPRISER

1931년, 당시 24세였던 '쿠르트 궤델(독일어: Kurt Gödel, 1906~1978)'은 '불완전성 정리(Incompleteness Theorems)'를 내밀어 수학계를 충격에 빠뜨렸다. 수학의 불완전함을 나타내는 '불완전성 정리'는 '수학적 증명이 불가능한 것은 없다'는 당대 분위기를 반전시켰다. 원자 폭탄을 개발한 주도한 이론 물리학자 '로버트 오펜하이머(Robert Oppenheimer, 1904~1967)'는 '불완전성 정리'에 대해 "인간의 이성 일반에서의 한계를 밝혀냈다."라고 평했다. '불완전성 정리'는 수학뿐만 아니라, 인간이 구축하는 어떤 시스템도 불완전하다고 제시한 것이다. '불완전성 정리'가 제시하는 '불완전(Incompleteness)'이란 무엇을 의미하는 것일까? 그리고 '..

'4색 정리(Four Color Theorem)'란 '지도에서 이웃한 영역이 다른 색깔이 되도록 칠하기 위해서는 4색이면 충분하다.'는 정리이다. 단 '이웃'한다는 것은 경계선을 공유함을 나타내고, 경계선의 교점에서 접하는 것은 이웃하지 않는 것으로 간주한다. 정리의 내용 자체는 간단히 이해할 수 있지만 정말 맞는 것일까? 0. 목차 '정리'란 무엇인가? 4색 문제 '4색 문제'를 풀었다고 주장한 '프랜시스 거스리' 지도를 '점'과 '선'으로 생각해 보자. 4색 문제가 증명되었다. 1. '정리'란 무엇인가? '4색 정리(Four Color Theorem)'를 설명하기 전에 '정리(定理, Theorem)'의 의미에 대해 알아보자. '정리'와 비슷한 의미로 '공리'와 '공식'이라는 용어도 있다. '공리(Ax..

'원주율(pi ratio)'이란 '원 둘레의 길이'를 '지름'으로 나눈 값으로 'π(파이)'라는 그리스 문자로 나타낸다. 초등학교에서는 약 3.14라고 배우지만, 실제로는 3.14 뒤에 규칙성 없는 숫자가 무한히 늘어선다. π의 정확한 값을 구하는 데 처음으로 도전한 사람은 고대 그리스의 '아르키메데스'였다. 그 정열은 후대의 수학자에게 계승되었으며, 원주율 π값의 기록은 2000년 이상 지난 지금까지도 계속 갱신되고 있다. 원주율 π에 숨겨진 신비한 성질에 대해 알아보자.0. 목차'원주율 π'란 무엇인가?고대의 원주율 계산 방법직접 실험해서 π값 구하기π와 무한무한급수로 π를 나타내는 방법컴퓨터에 의한 π의 계산π와 소수는 연결되어 있었다.1. '원주율 π'란 무엇인가?1-1. π는 무리수이다. '실수..

'스도쿠(Sudoku)'는 누구나 쉽게 즐길 수 있는 숫자 퍼즐 게임이다. 숫자를 채워 넣는 퍼즐이지만, 수학은 물론 산수 지식마저도 필요하지 않다. 이런 점이 다양한 층에서 스도쿠를 즐길 수 있는 이유일 것이다. 그러나 그 이면에는 수학적인 심오함이 깃들어 있다. 스도쿠의 독특한 매력에 대해 알아보자. 0. 목차 스도쿠의 기본 규칙 스도쿠의 역사 스도쿠의 난제 컴퓨터가 푸는 스도쿠 스도쿠의 해법 1. 스도쿠의 기본 규칙 스도쿠의 규칙은 그리 복잡하지 않다. 9×9의 81개의 칸에 1~9 숫자를 넣어 나갈 뿐이다. 수평 방향으로 늘어선 9개의 칸을 '가로줄', 수직 방향으로 늘어선 9개의 칸을 '세로줄', 3칸×3칸 크기의 9칸으로 이루어진 영역을 '블록'이라고 한다. 그때 '가로줄', '세로줄', 3칸..

고대 그리스의 철학자 '플라톤(Plato)'은 '정다각형(Regular Polygon)'만으로 이루어진 입체인 '정다면체(Regular Polyhedron)'를 신성시했다. 그가 주목한 5가지 정다면체, 즉 '정사면체', '정육면체(입방체)', '정팔면체', '정이십면체', '정이십면체'를 통틀어 '플라톤 입체(Platonic Solid)'라고 한다. 정다면체는 '황금비'를 갖고 있다거나 '구(Sphere)'에 꽉 맞게 들어가는 등의 불가사의한 성질을 가지고 있어, 기원전부터 사람들을 매혹시켜왔다.0. 목차플라톤 입체 (Platonic Solid)외접구와 내접구쌍대 (Dual)사면체 타일 정리황금비 (Golden Ratio)지오데식 돔 (Geodesic Dome)아르키메데스 입체공간을 꽉 채우는 방법1...

0. 목차'난수'란 무엇인가?몬테 카를로법(Monte Carlo Method)클러스터 착각(Cluster illusion)정규수(Normal Number)의사 난수 발생법물리 난수 발생법난수가 우리 사회를 지탱하고 있다.1. '난수'란 무엇인가? '난수(Random Number)'란 '다음 수를 결정하는 법칙이 절대 존재하지 않는 수'를 말한다. 다른 말로 하면, '다음에 무엇이 나올지 전혀 알 수 없는 수'가 난수이다. 그리고 난수를 만들어내는 장치를 '난수 발생기(Random Number Generator)'라고 한다. 예컨대 정육면체 주사위는 1에서 6까지의 난수를 만드는 난수 발생기이다. 정이십면체의 각 면에 0부터 9까지의 숫자를 2번씩 할당하면, 0부터 9까지의 난수를 만드는 난수 발생기가 된..

현대 수학을 대표하는 분야 중에 '위상수학(Topology)'이라는 분야가 있다. '위상수학'이라고 하면, 약 100년의 세월을 거쳐 마침내 2006년에 해결된 엄청난 난제 '푸앵카레의 추측(Poincare Conjecture)'을 떠올리는 사람들도 있을 것이다. 과연 '위상수학'이란 어떤 학문이고, 또 수많은 수학자들을 사로잡은 '푸앵카레의 추측'은 무엇일까?0. 목차'위상수학'이란 무엇인가?'위상수학'의 탄생위상 동형'뫼비우스의 띠'와 '클라인의 병''푸앵카레의 추측'이란?다양한 분야에서 주목받는 '위상수학'1. '위상수학'이란 무엇인가? 수학계의 노벨상이라고 불리는 '필즈상(Fields Medal)'은 수학계에서 가장 권위 있는 상이다. 4년에 한 번 현저한 업적을 남긴 40세 이하의 수학자에게 수..

0. 목차'무한'이란 무엇인가?'무한'의 계산원주율과 무한'무한'의 농도무한소 (infinitesimal)1. '무한(∞)'이란 무엇인가? '무한(infinite)'란 문자 그대로 '끝이 없다'는 개념이다. 하지만 무한의 세계를 떠올리기는 쉽지 않다. 그러면 인류는 언제부터 무한에 대해서 생각해왔을까? 인류가 무한에 대해서 진지하게 생각하기 시작한 것은 고대 그리스 시대부터였다. 하지만 당시의 주류 철학자였던 '피타고라스(Phythagoras)', '플라톤(Plato)', '아리스토텔레스(Aristoteles)' 등은 이 세계를 유한한 것으로 생각해, 논의에 혼란을 가져오는 '무한'의 개념을 몹시 싫어했다. '혐오'로 시작된 무한과의 관계는 나중에 과학에 큰 발전을 가져오게 된다. 무한대를 나타내는 기호..

0. 목차'소수'란 무엇인가?'소수'에 규칙성은 없다?소수 찾기소인수 분해소수는 무한한가?메르센 소수소수와 관계된 미해결 문제1. '소수'란 무엇인가? '소수(Prime Number)'란 1보다 크고, 1보과 자기 자신을 제외한 다른 수로는 나누어지지 않는 수를 말한다. 1, 2, 3, 4, 5...로 계속되는 양의 정수를 '자연수'라고 하며, 물건을 헤아리거나 순서를 나타낼 때 사용한다. 1과 소수 이외의 자연수는 모두 소수의 곱셈으로 나타낼 수 있다. 예컨대 30은 2×3×5이다. 게다가 곱하는 차례를 고려하지 않으면 그 방법은 1개밖에 없다. 그래서 소수를 '수의 원자'라고도 한다. 그리고 소수 이외의 수는 자연수는 '1과 그 자신 이외의 수를 약수로 가지는 자연수'로 '합성수(Composite N..

0. 목차 '0'이란 무엇인가? 고대 문명에서의 '0' 수로서의 0 수학에서의 0 자연에서의 0 1. '0'이란 무엇인가? 1-1. 0은 '수(Number)'일까? 0은 '수(Number)'일까? 옛날 사람들 특히, 유럽 사람들은 이것에 대해 많이 고민했다. 수라는 것은 애초부터 사물의 '개수'를 세기 위해 생겨난 것으로 여겨졌다. 하지만 '0개의 사과'라고는 말하지 않는다. 이런 측면에서 1~9까지의 다른 수와 비교해서, 0은 확실히 특별한 존재라고 생각된다. 실제로 0은 오랫동안 '수(number)'로 간주되지 않았다. 여기에서 말하는 '수'란 '개수'라는 생각에 얽매이지 않는 개념으로, 덧셈이나 곱셈과 같은 연산의 대상이 되는 것을 가리킨다. '개수'에 얽매이면, 0개 따위는 의미가 없으므로 0은 ..

'무한(∞)'은 '끝이 없다'는 개념으로, '무한'의 세계를 머릿속에 떠올리는 일은 쉽지 않다. 그래서 무한에 관한 '역설(Paradox)'도 많이 만들어졌다. '무한'과 관련된 역설에는 어떤 것들이 있을까?0. 목차무한 호텔의 역설제논의 역설갈릴레이의 역설톰슨의 램프2=1의 증명?1. 무한 호텔의 역설 독일의 수학자 '다비트 힐베르트(David Hilbert, 1862~1943)'는 무한 객실이 있는 '무한 호텔(infinite hotel)'이라는 기묘한 '패러독스(paradox)'를 생각했다. 무한의 개념을 이해하는데 도움이 되는 사고 실험이다.1-1. 무한의 손님이 찾아왔다. 무한 호텔에 '무한(∞)'의 손님이 숙박하고 있어 방이 꽉 차 있던 어느 날, 손님 한 명이 찾아왔다. 그 손님은 머물 호텔..

0. 목차 '차원'이란 무엇인가? 2차원 3차원 높은 차원은 그보다 낮은 차원의 공간을 내부에 포함한다. 차원의 확장 초입체 낮은 차원에서 불가능한 일도 높은 차원에서는 가능하다. 1. '차원'이란 무엇인가? 1-1. 유클리드가 정의한 점, 선, 면 '차원(dimension)'이란 공간이나 도형이 넓어지는 정도를 나타내는 개념이다. 차원의 개념은 기원전부터 있었던 것 같다. '기하학의 시조'라 불리는 고대 그리스의 수학자 '유클리드(Ευκλείδης, 기원전 330?~275)'는 기하학에서 그때까지 이루어진 성과를 체계화해 '원론'을 썼다. 그는 '원론'에서 점, 선, 면, 입체 등의 정의를 다음과 같이 내렸다. '점이란 부분을 갖지 않는 것이다. 선이란 폭이 없는 길이이다. 면이란 길이와 폭만 가진 것..