쌍둥이 역설(Twin Paradox)

 상대성 이론에 따르면, 움직이고 있는 사람의 시간은 정지해 있는 사람에 비해 천천히 흐른다. 그렇다면 우주선을 타고 지구를 떠나 고속으로 이동한 다음 돌아오면, 시간이 지구보다 느리게 흐른 만큼 미래의 지구로 갈 수 있을 것이다. 한편 우주선의 입장에서 보면 움직이는 것은 지구이며, 지구의 시간이 천천히 흐르는 것처럼 생각된다. 그렇다면 이 상황은 서로 모순이 아닐까?

 이 모순은 1905년 아인슈타인이 발표한 '특수 상대성 이론'에 관한 최초의 논문에 이미 나와있다. 같은 장소에 머물러 있는 사람과 그곳에서 이동해 다시 그 장소로 돌아온 사람의 시간에 차이가 생긴다는 점을 언급하고 있다. 이후 프랑스의 물리학자 '폴 랑주뱅(Paul Langevin, 1872~1946)'이 쌍둥이와 우주선이 등장하는 설정으로 제시한 '쌍둥이 패러독스(Twin Pardox)'로 유명해졌다.

0. 목차

1. 쌍둥이 역설 (Twin Paradox)
2. 패러독스의 해결법 A
3. 패러독스의 해결법 B

쌍둥이 역설(Twin Paradox)

1. 쌍둥이 역설 (Twin Paradox)

 이 이야기를 구체적으로 하기 위해 다음과 같은 상황을 떠올려 보자. 지구에 20세의 쌍둥이 형제가 있다. 형이 '초속 약 24만 km(광속의 80%)'로 나아갈 수 있는 우주선을 타고 지구에서 24광년 떨어진 행성으로 간다. 우주선은 행성에 도착하면 바로 돌아온다. 쌍둥이 동생은 지구에서 형이 돌아오기를 기다리고 있다.

 우주선이 지구와 목정지를 왕복하기 위해서는 '60년(=24×2÷0.8)'이 걸린다. 우주선이 출발할 때 쌍둥이 형제는 모두 20였으므로, 단순하게 생각하면 60년 후에 지구에서 다시 만날 때는 쌍둥이 형제는 둘 다 80세가 되어 있어야 한다. 하지만 이 결론은 '시공의 신축'을 고려하지 않았다. 그러면 '시공의 신축'을 고려하면, 쌍둥이 형제가 우주선을 타고 24광년 떨어진 곳의 행성을 왕복한 후, 쌍둥이 형제의 나이는 각각 어떻게 될까?

1-1. 동생의 시점

 먼저 '동생의 시점'에서 생각해 보자. '특수 상대성 이론'에 의하면, 물체의 이동 속도가 빠를수록 시간의 흐름이 느려진다. 우주선이 광속의 80%로 나아가면, 시간이 흐르는 속도는 정지해 있을 때의 60%로 느려진다. 그래서 지구에서 기다리고 있는 쌍둥이 동생에게 60년이 지났을 때, 우주선을 타고 있는 형에게는 아직 '36년(=60년×0.6)'밖에 지나지 않았다. 따라서 지구에서 다시 만날 때, 계속 지구에 있더 동생은 80세이지만, 우주선에서 계속 고속으로 이동한 형은 24세나 젊은 56세가 된다. 즉, 우주여행에서 돌아온 쌍둥이 형은 24세나 어려졌다. 형은 자신에게 36년이 지났을 때, 지구의 시간은 60년이나 지났으므로, 지구로 미래의 시간 여행을 할 수 있다고 할 수 있다.

1-2. 형의 시점

 이번에는 우주선에 타고 있는 형의 시점에서 생각해 보자. 달리고 있는 열차나 자동차에 타고 있으면, 자신은 정지해 있고 창밖에 있는 주위 풍경이 뒤로 달리는 것처럼 보인다. 마찬가지로 우주선을 타고 지구를 떠나는 형의 입장에서는, 우주선은 정지해 있고 지구가 우주선 뒤쪽으로 광속의 80%로 멀어지는 것으로 보인다. 그리고 행성에 도착한 이후 돌아올 때부터는 다시 가까워지는 것처럼 보인다. 상대성 이론에 의하면 움직이는 물체는 시간의 흐름이 느려진다. 따라서 우주선에 타고 있는 형이 보면, 지구가 움직이기 때문에 지구의 시간이 우주선의 시간에 비해 60%로 느려진다.

 나아가 상대성 이론에 의하면, 움직이는 물체는 진행 방향으로 길이가 줄어든다. 광속의 80%로 움직이면 진행 방향의 길이가 60%로 줄어든다. 우주선의 형이 보면 지구를 포함한 우주 전체가 광속의 80%로 움직이기 때문에 우주 전체가 진행 방향으로 60% 줄어든다. 그러면 목적지 행성까지의 거리도 60%로 줄어들어 14.4광년(24광년×0.6)이 된다. 거리가 짧아지기 때문에, 우주선은 목적지에 18년 만에 도착할 수 있다. 그 결과, 목적지까지의 거리가 짧아져서, 왕복에 걸리는 시간이 36년으로 줄어든다.

 20세 때 우주선 우주선을 타고 지구를 출발한 형은 36년 뒤 지구로 귀환한다. 그때 형의 나이는 56세이다. 그 사이에 지구의 시간 흐름은 60%로 느려졌기 때문에, 단순히 계산하면 지구에서는 21.6년밖에 지나지 않았을 것이다. 지구에서 형제가 다시 만날 때, 동생의 나이는 41.6세가 되어 56세인 형보다 14세 정도 젊어진다.

1-3. 무엇이 오류인가?

 동생 시점에서 생각하면 형이 젊어지고, 형 시점에서 생각하면 동생이 젊어진다. 이것이 바로 '쌍둥이 역설(Twin Paradox)'이다. '역설(Paradox)'란 옳은 것처럼 논리인데, 납득하기 어려운 결론에 이르는 문제를 말한다. 그렇다면, 동생 시점과 형 시점의 계산에서, 어디에 오류가 있을까?

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2. 패러독스의 해결법 A

 그러면 형제의 시점 중 어느 쪽이 옳을까? 형은 목적지에 도착하면, 지구로 돌아오기 위해 진행 방향을 반대로 바꿔야 한다. 이러한 방향 전환이 있기 때문에, 형과 동생의 입장을 단순히 바꾸어 생각할 수 없다. 결론적으로, 형제가 다시 만날 때에는 우주를 여행하고 온 형이 젊어진다는 동생의 시점이 옳다.

 두 사람이 일정한 속도로 일정한 방향으로 나아가는 '등속 직선 운동'을 하고 있는 한, 서로 상대방의 시간이 천천히 흐른다. 단 이번 경우에 동생은 지구에 계속 정지해 있지만, 형은 도중에 방향 전환으로 진행 방향이 바뀐다. 따라서 가는 길과 오는 길에 같은 '등속 직선 운동'을 하는 것이 아니므로, 동생의 시간이 줄곧 느려진다는 '형의 시점'에서의 계산은 잘못되었다.

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2-1. 6년마다 이메일을 서로 보내보자.

 형의 시간의 흐름이 느리다는 것을 그래프를 만들어 확인해 보자. 상대방의 시간의 흐름을 알기 위해, 형제가 서로 6년마다 상대방에게 이메일을 송신한다고 하자. '그래프 1 '은 동생이 형에게 보낸 이메일 송신 그래프이고, '그래프 2'는 형이 동생에게 보낸 이메일 송신 그래프이다. 우주선의 방향 전화 전후로 이메일 수신 간격은 바뀌지만, 최종적으로 '그래프 1'에서 형은 36년 동안 동생으로부터 60년분의 이메일을 수신함을 알 수 있고, '그래프 2'에서 동생은 60년 동안 형으로부터 36년분의 이메일을 수신함을 알 수 있다. 이것은 '형의 시간의 흐름이 늦다'는 동생 시점의 계산 결과와 일치한다.

 '그래프 1'은 지구에 있는 동생이 우주선의 형에게 6년마다 이메일을 보내는 과정을 그린 그래프이다. 가는 길에서는, 먼저 출발한 우주선이 이메일로부터 달아나듯이 나아가기 때문에, 첫째 이메일은 우주선이 목적지에 도착해 방향을 바꾼 18년째에 우주선에 도달한다. 우주선이 방향을 바꾼 뒤의 우주선은 지구에 차츰 가까워지기 때문에 이메일이 2년마다 도달한다. 최종적으로 우주선의 형은 36년 동안 60년분의 이메일을 받는다.

 '그래프 2'는 우주선의 형이 지구의 동생에게 6년마다 이메일을 보내는 과정을 그린 그래프이다. 목적지에서 방향을 바꾸기 전까지는 우주선에서 보낸 3통의 이메일은 지구에서는 18년마다 수신된다. 우주선이 방향을 바꾼 뒤에는 지구까지의 거리가 짧아지기 때문에, 이메일이 2년마다 지구에 도달한다. 최종적으로 지구의 동생은 60년 동안 우주선의 형으로부터 36년분의 이메일을 받는다.

3. 패러독스의 해결법 B

 일반 상대성 이론에 따르면, 가속에 의해 생기는 관성력과 중력은 구분할 수 없다. 이런 생각을 '등가 원리'라고 한다. 그리고 동등하다는 것은 결국 '가속·감속해서 관성력을 받으면 중력을 받고 있을 때와 마찬가지로 시간의 흐름이 느려진다.'는 뜻이다.

 이번에는 '가속·감속을 하면 시간의 흐름이 느려진다.'는 현상을 고려해서 '쌍둥이 역설'을 한 번 더 검증해 보자. 지구에 머물러 있는 동생은 가속·감속을 하지 않기 때문에, 동생 시점으로 생각할 때는 이러한 현상을 고려할 필요가 없다. 한편, 우주선에 타고 있는 형은 '지구를 출발할 때의 가속···①', '목적지를 도착할 때의 감속···②', '목적지를 출발할 때의 가속···③', '지구에 도착할 때의 감속···④' 등 합계 4회의 가속·감속을 한다. 따라서 우주선에 타고 있는 형에게는 4번의 가속·감속 때, 절대적인 시간의 느려짐이 생긴다.

 우주선이 가속·감속할 때, 우주선 안에 있는 형에게 주위 풍경은 어떻게 보일지 생각해 보자. 상대성 이론에 의하면, 속도가 빨라져 광속에 가까워지면 우주선 밖의 공간을 급격히 줄어든다. 반대로 속도가 느려질 때는 우주선 밖의 공간이 원래의 길이로 급격히 늘어난다. 우주선이 목적지 행성에 도착하기 위해 감속을 시작하면, 주위 공간이 급격하게 늘어나기 시작해, 지금까지 우주선 뒤쪽 14광년 거리에 있던 지구가 24광년 떨어진 곳까지 멀어진다. 행성을 떠날 때는 다시 가속하므로, 공간이 다시 줄어든다. 따라서 24광년 떨어져 있던 지구가 14광년 정도의 거리까지 가까워진다.

 이러한 방향 전환에 의해 형의 시간의 흐름은 급격히 느려진다. 즉, 방향 전환의 기간에 형이 본 동생의 시간은 급격히 흐를 것이다. 왕복의 '등속 직선 운동' 기간에는 형이 본 동생의 시간은 느리게 흐른다. 하지만 방향 전환 때 형의 시간이 느려지는 효과가 크기 때문에, 형이 봤을 때 동생의 시간은 빠르게 흐를 것이다. 때문에 지구에 다시 만났을 때에는 형이 동생보다 더 젊어진다.