정삼각형을 이용해서 '2=1'을 증명하는 과정을 소개하겠다. 이 논리는 옳은 것일까?
0. 목차
- 2=1의 증명?
- 무엇이 오류인가?
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1. 2=1의 증명?
여기에 모든 변의 길이가 1인 정삼각형이 있다. 여기에 변 AB와 변 BC의 중점에서 변 AC의 중점을 향해 선을 그어보자. 이렇게 하면 변의 길이가 1/2인 삼각형이 두 개 생긴다. 한편 새로 생긴 정삼각형의 위쪽 변을 따라 A에서 C로 향하는 꺾은선들은 길이가 1/2인 선분 4개로 이루어져 있다. 꺾인 선들의 길이의 합은 2가 된다.
마찬가지로 길이가 1/4인 정삼각형을 만들면, 역시 위쪽 변을 따라 A에서 C로 향하는 꺾은 선들은 길이가 1/4인 선분 8개가 된다. 역시 꺾인 선들의 길이의 합은 2가 된다. 이 과정을 무한히 반복하면 꺾인선은 직선 AC와 같아질 것이다. 꺾은선의 길이의 합은 2, 직선 AC의 길이는 1이기 때문에 결국 2=1이 되는 것이다.
2. 무엇이 오류인가?
이 말은 사실일까? 결론부터 말하자면, 이 증명은 틀렸다.
무엇이 잘못됐을까? 이는 무한의 작업을 계속하면 꺾은 선이 AC와 같아진다는 논리에 오류가 있는 '패러독스(paradox)'다. 삼각형을 무한히 작게 만들어나가다 보면 직선 AC와 비슷해지는 것처럼 보이지만 실제로는 일치하지 않는다. 일치할 수 없다.