'푸리에 해석(Fourier Analysis)'이란 '푸리에 급수 전개'나 '푸리에 변환' 등 수학적인 테크닉을 구사해 '복잡한 파동'을 '단순한 파동의 합체'로 나타낸 후, 다양한 파동과 신호를 해석하는 기법이다. '푸리에 해석(Fourier Analysis)'은 이공계의 광범위한 분야의 기반이 되고 있다. 푸리에 해석을 설명하는 책을 보면 어려운 수식이 나열되어 있어 있지만, 여기에서는 최소한의 수식만을 사용해서 '푸리에 해석'을 쉽게 살펴보기로 하자.
0. 목차
- '푸리에 해석'이란?
- 장 바티스트 조제프 푸리에
- 푸리에 변환(Fourier Transform)
- '푸리에 해석'의 응용
- 천연 푸리에 해석 장치
1. '푸리에 해석'이란?
1-1. '푸리에 해석'으로 복잡한 파동을 단순한 파동으로 분해할 수 있다.
'푸리에 해석(Fourier Analysis)'이 무엇인지 이해하기 위해, 사람의 목소리를 생각해 보자. 소리를 낼 때 사람은 목의 성대를 떨어 공기를 진동시킨다. 그 공기의 진동이 상대 귀의 고막을 울려 음석으로 전해진다. 공기가 진동하면, 공기의 밀도가 높아지거나 낮아진다. 가로축을 '시간(Time)', 세로축을 '밀도(Density)'라고 하면, 공기의 진동을 '파동(Wave)'으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 '안녕하세요'란 음성은 매우 복잡한 파동의 형태를 만든다. 이처럼 복잡한 파동의 형태가 음성 정보를 전달한다. 복잡한 파동의 형태를 하고 있는 것은 사람의 목소리만이 아니다. 피아노나 바이올린 등의 악기의 소리도 각각 특유한 형태를 가진 복잡한 파동이다. 반대로, 피아노 소리가 지닌 파동 형태를 충실히 재현하기 위해 교묘하게 공기를 진동시키면 피아노 소리로 들린다. 그렇게 만드는 장치가 스피커이다.
조그만 소리에 비해 큰 소리는 파동의 '마루의 높이'와 '골의 깊이'가 커진다. 따라서 '소리의 크기'는 파동의 형태를 보면 쉽게 알 수 있다. 그렇다면 음의 높고 낮음은 파동 형태의 어떤 부분에서 나타나는 것일까? 일반적으로 남성의 소리에 비해 여성의 소리가 높게 들린다. 하지만 남녀의 소리가 만드는 복잡한 파동의 형태를 대강 보면 그다지 차이가 없어 보인다. 그래서 여기에서 사용되는 것이 '푸리에 해석(Fourier Analysis)'이다. 뒤에서 볼 수 있듯이 푸리에 해석을 사용하면 복잡한 파동의 형태를 단순한 파동으로 '분해'해서, '음의 높이'나 '악기의 음색' 등 아주 다양한 정보를 추출할 수 있다.
1-2. 가장 단순한 파동 '사인파'
위에서 '복잡한 파동을 단순한 파동으로 분해한다.'고 설명했다. 그렇다면 '단순한 파동'이란 어떤 것일까? 용수철을 매달고 그 끝에 추를 매달아 늘어뜨린 것을 생각해 보자. 그리고 이 추에 위 방향이나 아래 방향으로 한 번만 힘을 가해 보자. 그러면 추는 어느 높이까지 올라갔다가 내려온다. 그리고 어느 높이까지 내려온 다음 용수철에 이끌려 올라간다. 이 상하 운동은 일정한 속도를 되풀이된다. 공기 저항 등을 무시할 수 있다면, 추는 영원히 위아래 방향의 진동을 반복할 것이다. 이 용수철과 추를 일정한 속도로 수평으로 움직인다. 그러면 추의 궤적이 파동을 그린다. 파동의 형태를 보면 아름다운 모양의 '마루' 다음에 같은 크기의 '골'이 이어지며, 이것이 일정한 주기로 반복된다. 이 파동이 바로 '단순한 파동'이다.
이 단순한 파동을 '사인파(Sine Wave)'라고 한다. 사인파의 '사인'은 학교에서 배우는 '삼각 함수(Trigonometric Function)'의 대표격이며, 기호로는 sin이라고 한다. 'y=sin(x)'라는 수식의 그래프가 사인파이다. 또 '사인(sin)'과 함께 주요 삼각함수로 '코사인(cos)'이 있다. '코사인파'는 평행 이동하면 '사인파'와 겹쳐진다.
그렇다면 음의 높이를 바꾸면 사인파의 형태는 어떻게 될까? 예컨대 '도' 음의 파동과 그보다 1옥타브 높은 '도' 음의 파동을 비교해 보자. 그러면 높은 도의 파동에서는 1초 동안 마루와 골이 반복되는 횟수'가 낮은 도 파동의 2배가 된다. 이처럼 '1초 동안에 마루와 골이 반복되는 횟수'를 '주파수(Frequency)'라고 한다. 높은 음일수록 주파수가 커지고, 낮은 음일수록 주파수가 작아진다.
1-3. 단순한 파동을 합치면 복잡한 파동을 만들 수 있다.
단순한 형태의 파동인 사인파에서 '음의 크기'는 '마루와 골의 높이'로, '음의 높이'는 '주파수'로 나타낸다. 그러나 사람은 목소리 같은 복잡한 파동에서는 그러한 특징을 읽어낼 수 없다. 그래서 파동의 특징을 읽어내기 위해, '단순한 파동을 합치면 제아무리 복잡한 파동도 만들 수 있다'는 파동의 성질이 이용된다. 그리고 반대로 '제아무리 복잡한 파동이라도 단순한 파동으로 분해할 수 있다'고 할 수 있다.
그러면 '단순한 파동을 합친다'는 말은 무슨 뜻일까? 다양한 주파수를 가진 사인파를 준비해서 그것들을 합쳐 보자. 수식 y=sin(x), y=sin(2x), y=sin(3x)로 표현된 3개의 사인파를 합치면 어떻게 될까? 훨씬 복잡한 모양이 될 것이다. 그리고 이 파동에 다른 사인파를 합쳐 나가면 더욱 복잡한 파동을 만들 수 있다. 사실 사인파뿐만 아니라 코사인파를 합쳐 나가도 어떤 형태의 파동이든 표현할 수 있다. 이것을 최초로 명확하게 정리한 사람이 '장 바티스트 조제프 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768~1830)'이다
2. 장 바티스트 조제프 푸리에
'장 바티스트 조제프 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)'는 프랑스의 '오세르(Auxerre)'라는 도시에서 태어났다. 어려서 부모를 잃고 고아가 되었지만, 어릴 때부터 수학에 재능을 보였다. '푸리에'가 21세인 1789년에 프랑스 혁명이 일어나 나라는 혼란스러웠다. 이 혼란을 잠재운 사람이 나중에 황제가 된 '나폴레옹 보나파르트(프랑스어: Napoléon Bonaparte, 1769~1821)'이다.
1789년에 시작된 프랑스군의 이집트 원정에 '나폴레옹'은 과학자들을 데리고 갔다. 그중 한 사람이 '에콜 폴리테크니크(프랑스어: École Polytechnique)'의 교사 '푸리에'였다. 프랑스군은 나일강 하구 부근 '로제타(Rosetta)'라는 마을에서 고대 이집트의 상형 문자 '히에로글리프(Hieroglyph)'와 그리스어가 새겨진 바위를 발견했다. 바로 그 유명한 '로제타석(Rosetta Stone)'이다. '푸리에' 등 과학자는 '로제타석(Rosetta Stone)' 탁본을 프랑스로 가지고 왔다. 귀국 후에 '푸리에'는 '나폴레옹'으로부터 행정 능력을 인정받아 주지사에 임명되었다. 주지사 시절의 어느 날, 푸리에는 11세 소년 '장프랑수와 샹폴리오(Jean Francois Champollion, 1790~1832)'에게 로제타석 탁본을 보여주었다. 소년은 그날, 수수께끼의 상형 문자에 '히에로글리프'를 해독하기로 마음먹었고 20년에 걸쳐 마침내 해독에 성공했다.
2-1. '푸리에 급수'를 발견
주지사 일을 하면서 '푸리에'는 수학과 물리학 연구를 계속했다. '푸리에'가 열심히 몰두한 것은 증기 기관의 등장으로 인해 당시 과학자들의 중요한 과제가 된 '열전도' 연구였다. 금속 막대의 한 점을 가열하면, 시간이 지나면서 열은 막대 속을 지나간다. '푸리에' 이전에는 열의 전도 방식을 나타내는 수식은 없었다. '푸리에'는 열의 전도를 나타내는 수식을 수학적으로 연구하는 과정에서 중요한 발견에 이르렀다. 그것은 '어떤 함수이든 다양한 사인과 코사인을 무한히 더한 식으로 나타낼 수 있다'는 발견이다. '사인과 코사인을 무한히 더한 식'을 지금은 '푸리에 급수(Fourier series)'라고 부른다.
아래는 '푸리에'가 밝힌 '푸리에 급수'를 나타낸 수식이다. 급수란 일정한 규칙에 따라 변화하는 수열의 무한 합을 가리킨다. '푸리에 급수(Fourier series)'는 다양한 주파수를 가진 '사인(sin)'과 '코사인(cos)'을 무한히 더한 것이다. 'a1', 'b1' 등은 '푸리에 계수'라는 것으로 각각의 sin이나 cos을 몇 배 할 것인지를 나타내는 값이다. '푸리에 계수'는 아래에 제시한 계산을 통해 얻을 수 있다.
3. 푸리에 변환(Fourier Transform)
그러면 '푸리에 변환(FT: Fourier Transform)'이란 무엇일까? 소리나 악기의 음을 만드는 '복잡한 파동'은 수학에서는 어떤 함수의 그래프'로 간주한다. 그리고 '푸리에'는 '모든 함수'는 다양한 사인과 코사인을 무한히 더한 식인 '푸리에 급수'의 형태로 나타낼 수 있다고 하였다. 모든 함수를 푸리에 급수의 형태로 나타내는 것을 수학에서는 '푸리에 급수 전개'라고 한다.
결국 음을 만드는 '복잡한 파동'을 함수로 보고, 그 함수를 푸리에 급수 전개하면 '단순한 파동'인 사인파와 코사인파로 분해할 수 있다. 단순한 파동으로 분해하면, 어떤 높이의 음이 어느 정도 포함되어 있는지 알 수 있어 소리나 악기의 음의 특징을 분석할 수 있다. 그러기 위해서는 '어떤 주파수의 사인파와 코사인파'가 '어느 정도 포함되어 있는지'를 계산으로 구해야 한다. 이것은 푸리에 급수의 sin이나 cos 앞에 있는 '푸리에 계수'를 구체적으로 구하는 것이다. '푸리에 계수'의 값을 구하기 위해 사용되는 것이 삼각함수인 sin과 cos이 가진 '직교성'이라는 성질이다. '직교성'을 올바르게 이해하기 위해서는 고등학교 수학에서 배우는 '적분'을 알아야 한다. 여기에서는 깊이 들어가지 않지만, '직교성'이란 '자신과는 다른 형태의 삼각 함수를 곱해서 적분하면 그 결과는 언제나 0이 된다'는 것이라고만 기억해 두자. 이 성질을 이용해 '푸리에 계수'를 비교적 쉽게 구할 수 있다.
복잡한 파동의 '푸리에 계수'를 구체적으로 구하는 수학상의 조작이 바로 '푸리에 변환'이라는 것이다. 그리고 '푸리에 변환'을 써서 원래 함수의 성질을 조사하거나, 푸리에 변환을 으용해 파동의 특징을 분석하는 일을 '푸리에 해석'이라고 한다. '푸리에 변환'을 통해 '푸리에 계수'를 알면, 원래의 복잡한 파동에 어떤 주파수의 '사인파'와 '코사인파'가 어느 정도 포함되어 있는지를 구체적으로 알 수 있다.
아래의 F(k)는 함수 f(x)를 '푸리에 변환'해서 생긴 함수이다. e는 '자연로그의 밑'이라는 상수이며 i는 허수 단위이다. '오일러 공식(Euler's formula)'을 사용하면, 아래 수식의 e-ikx는 e-ikx=cos(kx)-i{sin(kx)}로 표현된다.
4. 푸리에 해석의 응용
지금까지는 주로 음성 파동을 예로 들어 '푸리에 해석'을 설명했다. 그러나 사실 '푸리에 해석'의 대상은 '음성'만이 아니다. '음성', '사진', '동영상'에서 모두 '푸리에 해석'이 사용된다. 우리는 매일 수많은 '음성(Sound)', '사진(Picture)', '동영상(Video)'을 접한다. 이러한 우리 사회를 떠받치고 있는 것이 '푸리에 해석'이다.
4-1. 음성 인식·합성
기계가 인간의 말을 인식하는 '음성 인식(Speech Recognition)' 기술이 크게 발전하고 있다. 또 노래의 문자 정보나 멜로디 정보를 입력해 컴퓨터가 노래를 부르게 하는 '보컬로이드(VOCALOID)'라는 소프트웨어도 있다. '보컬로이드'는 일본의 '야마하(YAMAHA)'사에서 제작한 데스크톱 뮤직 제작을 위한 '음성 합성 엔진(Speech Synthesis Engine)'이다. 이처럼 컴퓨터가 인간의 음성을 이해하거나 흉내내기 위한 기술도 '푸리에 변환'에 기반을 두고 있다.
사람의 소리는 복잡한 파동의 형태를 하고 있다. 이것을 푸리에 변환하고 주파수 성분으로 분해함으로써, 다양한 정보를 얻을 수 있다. 예컨대 'ㅏ'나 'ㅠ' 등의 모음을 푸리에 변환해 주파수의 강도 분포를 비교하면, 각각의 모음에 특유한 '최고점(Peak)'이 특정 주파수로 나타나는 것을 알 수 있다. 이 최고점을 '포먼트(formant)'라고 하며, 나타난 포먼트의 조합을 통해 그 음이 어떤 모음인지 알 수 있다. 반대로 예컨대 'ㅏ'가 지닌 포먼트 조합을 인공적으로 재현하면 'ㅏ'라고 들리는 인공적인 음성을 합성할 수 있다. 이렇게 재현하는 데는 '푸리에 변환'의 역 조작인 '역 푸리에 변환'이 사용된다. 이것이 '보컬로이드' 등의 합성 음성을 만드는 기본적인 메커니즘이다.
음성의 인식이나 합성뿐만 아니라, 컴퓨터에 의한 정보 처리에는 '푸리에 변환'이 많이 사용된다. '푸리에 변환'에는 시간이 많이 걸리기 때문에, 컴퓨터에서는 더 짧은 시간에 계산할 수 있는 '고속 푸리에 변환(FFT: Fast Fourier Transform)'이 사용된다.
4-2. 이미지 압축 기술
'음성'이 '1차원의 복잡한 파동'이라면, '사진'은 '2차원의 복잡한 파동'이다. 2차원의 복잡한 파동을 단순한 파동인 가로무늬와 세로무늬로 분해하고, 줄무늬의 주파수 성분을 구하는 것이다.
디지털 이미지 압축 기술의 하나인 'JPEG'에서는 '푸리에 해석'을 사용해 원래 사진을 주파수 성분으로 분해할 수 있다. '사진의 주파수 성분'이란 무엇일까? 그것을 이해하는 열쇠가 '줄무늬'이다. 흑백의 세로무늬는 가로 방향을 향해 흑·백·흑·백...으로 반복된다. 이것은 파동으로 마루·골·마루·골...로 반복되는 것과 비슷하다. 결국 '줄무늬'는 파동으로 간주되며, 무늬의 가늘기는 주파수로 간주된다. JPEG에서는 8×8 화소별로 푸리에 해석의 일종인 '이산 코사인 변환(DCT: Discrete Cosine Transform)'을 통해 '0부터 7까지의 주파수를 가진 가로무늬와 세포무늬의 합'으로 간주한다.
실은 8×8 화소의 데이터를 주파수 성분으로 분해하는 것만으로는 데이터의 양이 변하지 않는다. 그러나 주파수 성분으로 분해한 다음, 인간의 시각으로는 인식하기 어려운 고주파 성분을 잘라내는 등 다양한 방법으로 데이터의 양을 줄인다. 이를 이용해 가능한 한 화질을 떨어뜨리지 않고, 데이터의 양을 압축하는 메커니즘이 JPEG이다.
4-3. AM 라디오
'AM 라디오'에도 '푸리에 해석(Fourier Analysis)'이 응용된다. 'AM 라디오 수신기'의 안테나에 전파가 닿으면, 안테나 안의 전압이 복잡하게 변한다. 그러나 안테나에는 다양한 전파가 수신되므로, 이 전압의 파동을 그대로 소리의 파동으로 바꾸면, 의미 있는 음성으로 변하지 않는다. 특정 라디오 방송국의 음성을 듣기 위해서는, 안테나가 포착한 전압의 파동을 주파수별로 분해해서, '반송파(통신에서 데이터의 전달을 위해 사용하는 높은 주파수의 파동)'를 골라내야 한다. 라디오 방송국에서 발신한 '반송파(Carrier Wave)'에 실린 음성 신호의 파동을 꺼내 스피커에 전달하면, 비로소 음성으로 들을 수 있다. 'AM 라디오'의 기본 원리를 올바르게 이해하기 위해서는 '푸리에 변환'의 수학적 성질에 대한 지식이 필요하다.
'AM 라디오'뿐만 아니라, 지상 디지털 방송 등 TV 방송에서도 '푸리에 해석'이 사용된다. 전파에 신호를 올리는 방식의 차이는 있지만, 그 기본 원리를 이해하는 데 '푸리에 해석'이 중요하다는 점은 같다. '휴대전화의 통화', '광섬유를 이용한 정보 통신', '와이파이(Wi-Fi)' 등 무선 '근거리 통신망(LAN: Local Area Network)' 등에서도 푸리에 해석이 중요한 역할을 담당한다. 전기나 광 신호를 다루는 공학 분야에서 '푸리에 해석'은 기초 중의 기초라고 해도 좋을 것이다.
4-4. 모든 과학의 토대
'푸리에 해석'이란 복잡한 파동을 단순한 파동으로 분해해서 분석하는 것이다. 과학자들은 다양한 '파동(Wave)'을 상대로 연구할 때 '푸리에 해석'을 일상적으로 사용한다.
- 물리학 연구: 물리학에서는 다양한 장면에서 '미분 방정식(Differential Equation)'이 자주 등장한다. 이 방정식을 간단히 풀기 위한 수학적 테크닉으로 '푸리에 변환'이 자주 사용된다. '양자 역학'도 '푸리에 해석'과 밀접한 관계에 있다. '양자 역학'은 전자 등의 극미를 입자를 '파동'으로 취급한다. 이 파동을 '푸리에 해석'해서 '입자의 위치'와 '입자의 운동량'에 대해 논할 수 있다.
- 인공 분광기: '프리즘(Prism)'처럼 빛을 주파수별로 분해하는 장치를 '분광기(Spectrograph)'라고 한다. '인공 분광기'에서는 컴퓨터를 통한 푸리에 변환을 사용하는 것도 있으며, '적외선 천문학' 등의 분야에서 활약한다.
- 의료 기기: 'CT 스캐너'나 'MRI(자기 공명 영상)' 등의 의료 기기를 이용한 화상 구축에도 '푸리에 해석'이 이용된다.
- 음향 기기: 잡음을 제거하는 '노이즈 캔슬링 헤드폰(Noise Cancelling Headphone)' 등에도 '푸리에 해석'이 이용된다.
- 지진 연구: 지진은 진원에서 생긴 진동이 지진파로 주위에 퍼져나가는 현상이다. 연구자들은 지진파를 '푸리에 해석'하여, 큰 건물을 잘 흔드는 특정 주파수 성분을 찾는다.
5. 천연 푸리에 해석 장치
사실은 자연계에도 마치 '푸리에 해석'을 하는 것처럼 보이는 현상이 있다.
- 대기 중의 물방울: 비가 갠 맑은 하늘에서, 태양을 등지고 있으면 일곱 가지 색으로 빛나는 아름다운 무지개가 보일 때가 있다. '무지개'의 근원은 햇빛이다. 하얗게 보이는 태양광은 실제로는 무수한 주파수의 빛이 섞인 것이다. 태양광이 대기 중에 떠있는 물방울 속으로 들어가 내부에서 반사되어 물방울 밖으로 나올 때, '빛의 색'에 따라, 즉 '주파수'에 따라 빛이 꺾이는 정도인 '굴절률(Refractive Index)'이 다르다. 따라서 빛의 색에 따라 물방울 밖으로 나오는 각도가 달라지기 때문에, 하얀색으로 보이는 태양광이 다양한 색으로 분해되어 보이는 것이다. 이것은 마치 물방울이 태양광을 '푸리에 해석'한 것과 같다.
- 달팽이관(Cochlea): 높은 음과 낮은 음을 구분해서 들을 수 있게 하는 것은 고막 안쪽에 있는 '달팽이관'이라는 기관이다. 고막의 진동은 3개의 조그만 귓속뼈를 매개로 달팽이관을 흔든다. 그러면 달팽이관 내부를 가득 채운 림프액이 흔들려, 달팽이관 내벽에 늘어선 세포의 털을 흔든다. 이때 '높은 음'은 달팽이관의 앞쪽 털을 흔들고, '낮은 음'은 달팽이관 뒤쪽의 털을 흔드는 메커니즘으로 되어 있다. 결국 달팽이관은 음을 주파수 성분으로 분해하는 셈이다.
물론 '대기 중의 물방울'이나 '달팽이관'이 푸리에 해석에 필요한 계산을 하는 것은 아니다. 그러나 '복잡한 파동을 분해해서 주파수 성분을 추출하는 본질적인 기능에 주목하면, 이것을 '천연 푸리에 해석 장치'로 간주할 수 있다.